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\date{}% Pour éviter d'avoir la date dans le titre
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\begin{document}
\maketitle

\section{Aire sous la courbe d'une fonction continue positive}

\textit{Prérequis : On considère connue une notion intuitive d'aire. L'aire d'une figure plane peut être vue comme le nombre d'unités d'aire nécessaire pour recouvrir exactement cette figure, au besoin après un grand nombre de découpages et assemblages. Le problème est qu'en général, le calcul exact nécesssite un passage à la limite, comme par exemple dans le calcul de l'aire d'un disque par la méthode d'Archimède.}

\subsection{Définition}

Soit \( f \) une fonction continue et \textbf{positive} sur un intervalle \( [a ; b] \), et \( \mathscr{C}_f \) sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère \( (O ; \vec{i} ; \vec{j}) \). On lui associe la partie \( \mathscr{P} \) du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe \( \mathscr{C}_f \) et les deux droites d'équation \( x=a \) et \( x=b \), autrement dit, l'ensemble des points \( M(x ; y)\) tels que \( \left\lbrace \begin{array}{l}
a \leq x\leq b \\
 0\leq y \leq f(x)
\end{array} \right. \).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
    %\draw[dotted] (-0.1,-1.1) grid (6,5);
    \coordinate (A) at (1,1);
    \coordinate (D) at (6,2.6);
    \coordinate (B) at (1,0);
    \coordinate (C) at (6,0);
    \fill[color=gray!30] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(D)--(C)--(B)--cycle;
    \draw[->,>=latex] (-0.2,0) -- (6.7,0) ;
    \draw[->,>=latex] (0,-0.2) -- (0,5.3);
    \draw[thick] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(D)node[midway,above ]{$\mathscr{C}_f$};
     \draw (1,0) node[below]{$a$}-- (A); 
     %\draw[dashed] (A)-- (0,1) node[left]{$f(a)$};
     \draw (6,0) node[below]{$b$}-- (D); 
     %\draw[dashed] (D)-- (0,2.6) node[left]{$f(b)$};
    \path (4,2) node{$\mathscr{P} $};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Nous admettons le résultat suivant :

\textbf{Si \( f \) est continue, la partie \( \mathscr{P} \) admet une aire.}

Dans la suite du cours, les fonctions rencontrées seront supposées continues.

\begin{definition}
On appelle aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( b \) l'aire de la partie \( \mathscr{P} \).
% et on la note :
%\[\int_a^b f(x) dx\]
\end{definition}
\textbf{Remarque} : 

Cette aire est exprimée en unités d'aire. Attention : l'unité d'aire n'est pas forcément le cm$^2$.

\begin{propriete}[Relation de Chasles]\label{r_chasles}
Pour \( x\leq y \), notons \( \mathscr{A}(x;y) \) l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( x \) et \( y \).

Pour tout \( c \in [a ; b] \), on a alors : \( \mathscr{A}(a;b)=\mathscr{A}(a;c)+\mathscr{A}(c ; b) \).
\end{propriete}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
    %\draw[dotted] (-0.1,-1.1) grid (6,5);
    \coordinate (A) at (1,1);
    \coordinate (D) at (6,2.6);
    \coordinate (B) at (1,0);
    \coordinate (C) at (6,0);
    \fill[color=gray!30] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(D)--(C)--(B)--cycle;
    \draw[->,>=latex] (-0.2,0) -- (6.7,0) ;
    \draw[->,>=latex] (0,-0.2) -- (0,5.2);
    \draw[thick] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(D)node[midway,above left]{$\mathscr{C}_f$};
     \draw (1,0) node[below]{$a$}-- (A);
     \draw (6,0) node[below]{$b$}-- (D);
     \draw (4,0)node[below]{c}--(4,3);
   \end{tikzpicture}
\end{center}
Cette propriété traduit l'idée intuitive selon laquelle on retrouve l'aire entre \( a \) et \( b \) par assemblage en ajoutant l'aire entre \( a \) et \( c \) et l'aire entre \( c \) et \( b \).

\subsection{Fonction aire}\label{f_aire}
Conservons les notations précédentes. Pour tout \( x \in [a ; b]\), on peut calculer l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( x \). On définit ainsi sur \( [a ; b] \) une fonction \( F \) : \( F(x)=\mathscr{A}(a;x) \).

On vérifie facilement que la fonction \( F \) est :
\begin{itemize}
\item positive (car une aire est un nombre positif),
\item croissante (car lorsque \( x \) augmente, l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( x \) augmente. 
\end{itemize}
De plus, on a \( F(a)=0 \).

\subsection{Dérivée d'une fonction aire : cas d'une fonction croissante}

Soit \( f \) une fonction continue, positive  et \textbf{croissante} sur un intervalle \( [a ; b] \). Pour tout \( x \in ]a ; b[\), on définit comme précédemment \( F(x)=\mathscr{A}(a;x) \).

Soit \( h \) un réel positif tel que \( x+h \in [a ; b] \).

D'après la relation de Chasles (propriété \ref{r_chasles}), l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( x+h \) est égale à la somme de l'aire entre \( a \) et \( x \) et de l'aire entre \( x \) et \( x+h \) ; par conséquent l'aire entre \( x \) et \( x+h \) vaut \( F(x+h)-F(x) \).
Comme la fonction \( f \) est croissante, cette aire peut être encadrée par l'aire de deux rectangles, l'un ayant pour largeur \( h \) et pour hauteur \( f(x) \) et l'autre ayant pour largeur \( h \) et pour hauteur \( f(x+h) \).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
    
    \coordinate (A) at (1,1);
    \coordinate (B) at (6,5);
    \coordinate (XA) at (1,0);
    \coordinate (XB) at (6,0);
    \coordinate (X) at (4,0);
    \coordinate (FX) at (4,3.57);
    \coordinate (Y) at (0,3.57);
    \coordinate (XH) at (5,0);
    \coordinate (FXH) at (5,4.6);
    \coordinate (YH) at (0,4.6);
    
    \filldraw[fill=gray!10] (X)rectangle(FXH);
    \filldraw[fill=gray!30] (XH)node[below]{$x+h$}rectangle(FX);
     
    \draw[->,>=latex] (-0.2,0) -- (6.3,0) ;
    \draw[->,>=latex] (0,-0.2) -- (0,5.2);
    \draw[thick] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(B)node[midway,left ]{$\mathscr{C}_f$};
    \draw (XA) node[below]{$a$}-- (A);
    \draw (XB) node[below]{$b$}-- (B);
    \draw (X)node[below]{$x$}--(FX);

    \draw[dashed] (Y) node [left]{$f(x)$} -- (FX);
    \draw[dashed] (YH) node [left]{$f(x+h)$} -- (FXH);
   \end{tikzpicture}
\end{center}

On en déduit : \( h \times f(x) \leq F(x+h)-F(x) \leq h \times f(x+h) \). 

En divisant par \( h \) (qui est positif), on obtient : \( f(x) \leq \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq f(x+h) \).

Que se passe-t-il lorsque \( h \) tend vers 0 ? On sait que \(\displaystyle \lim_{h \to 0}f(x+h)=f(x) \) car \( f \) est continue sur \( [a ; b] \). On peut donc appliquer le théorème des gendarmes. 

On obtient : \(\displaystyle \lim_{\substack {h\rightarrow 0\\h>0}}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)\).

Si \( h \) est négatif, on applique la même méthode. On a dans ce cas : \( f(x+h)\leq f(x) \). L'aire entre \( x+h\) et \(x \) est cette fois égale à \(  F(x)-F(x+h) \) ; on l'encadre par deux rectangle de largeur \( (-h) \). 

Donc : \( (-h) \times f(x+h) \leq F(x)-F(x+h) \leq (-h) \times f(x) \). En divisant par \( -h \) (qui est positif), on obtient : \( f(x+h) \leq \dfrac{F(x)-F(x+h)}{-h} \leq f(x) \), soit \( f(x+h) \leq \dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \leq f(x) \).

Appliquant à nouveau le théorème des gendarmes, on obtient : \(\displaystyle \lim_{\substack {h\rightarrow 0\\h<0}}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)\).

Les limites à droite et à gauche sont égales, on peut donc écrire : \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)\).

Conclusion : \( F'(x)=f(x) \). Autrement dit, \( f \) est la dérivée de \( F \) sur \( ]a ; b[ \).

\subsection{Dérivée d'une fonction aire : cas général}\label{derivee_aire}
La méthode précédente se transpose facilement au cas d'une fonction décroissante. On obtient le même résultat : \( f \) est la dérivée de \( F \).

Comme les fonctions que nous utilisons sont toujours monotones par intervalles, on peut facilement admettre que ce résultat se généralise à toute fonction continue et positive. On obtient donc le très important résultat suivant :

\begin{theoreme}\label{theoreme_aire_derivee}

Si \( f \)  est une fonction continue et positive sur \( [a ; b] \), la fonction \( F \) définie sur \( [a ; b] \) par \( \displaystyle F(x)=\mathscr{A}(a;x) \), aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( x \), est dérivable sur \( ]a ; b[ \) et a pour dérivée \( f \).
\end{theoreme}

Ce théorème nous conduit à étudier les fonctions dont la dérivée est \( f \). C'est l'objet de la partie suivante.
\section{Primitive d'une fonction continue.}
\subsection{Définition}

\begin{definition}
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \) et \( f \) une fonction de \( I \) dans \( \mathbb{R} \). On appelle primitive de \( f \) sur \( I \) toute fonction \( F \), définie et dérivable sur \( I \), dont la dérivée est \( f \).
\end{definition}

\begin{propriete}\label{deux_primitives}
Soit \( f \) une fonction sur \( I \).

Si \( f \) admet une primitive \( F \) sur \( I \), alors elle en admet une infinité. Les primitives de \( f \) sur \( I \) sont les fonctions \( G \) définies par : \( G(x)=F(x)+C \), où \( C \) est une constante réelle.
\end{propriete}
\begin{proof}
Les fonctions \( F \) et \( G \) ont la même dérivée, car on ajoute une constante pour passer de \( F(x) \) à \( G(x) \). Réciproquement, soient \( F \) et \( G \) deux primitives de \( f \). 

Posons \( H(x)=G(x)-F(x) \). On a : \( H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 \). 

La fonction \( H \) est donc constante : il existe \( C \in \mathbb{R} \) tel que pour tout \( x \in I \), \( H(x)=C \). On en déduit : pour tout \( x \in I \), \( G(x)-F(x)=C \), soit \( G(x)=F(x)+C \).
\end{proof}
\begin{theoreme}
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
\end{theoreme}
\begin{proof}
On démontre ce théorème dans le cas d'un intervalle fermé borné \( [a ; b] \), en admettant que la fonction est minorée sur \( [a ; b] \). On admet le cas général.

Soit \( m \) tel que pour tout \( x\in[a;b] \), \( f(x) \geq m \) (on dit que \( m \) est un minorant de \( f \) sur \( [a ; b] \)). 

Posons \( g(x)=f(x)+m \). Alors \( g \) est positive sur \( [a;b] \), donc on peut définir (voir la partie \ref{f_aire}) la fonction \( G : G(x)=\mathscr{A}(a;x) \), aire sous la courbe représentant \( g \) entre \( a \) et \( x \).

D'après la partie \ref{derivee_aire}, on a : \( G'(x)=g(x)\) pour tout \( x\in ]a;b[ \).

Posons à présent : \( F(x)=G(x)-mx \). Alors \( F'(x)=G'(x)-m=g(x)-m=f(x) \). 

Donc \( F \) est une primitive de \( f \).
\end{proof}
\subsection{Tableau 1 : primitives usuelles}
\( F \) désigne une primitive de \( f \) sur \( I \) ; \( C \) est une constante réelle.

\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace{1cm} \( f(x) \) \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \( F(x) \) \hspace{1cm}  & \hspace{1cm} \( I \) \hspace{1cm} \\
\hline
\( x^n \), \( n \in \mathbb{N} \) & \( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C \) & \( \mathbb{R} \)\\
\( x^n \), \( n \) entier \(\leq -2 \) & \( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} +C \) & \( ]-\infty ; 0[ \) ou \( ]0;+\infty[ \)\\
\( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \) & \( 2\sqrt{x}+C \) & \( ]0;+\infty[ \)\\
\( \dfrac{1}{x} \) & \( \ln(x)+C \) & \( ]0;+\infty[ \)\\
\( \e^x \) & \( \e^x +C \) &  \( \mathbb{R} \)\\
\( \cos(x) \) & \( \sin(x)+C \) & \( \mathbb{R} \)\\
\( \sin(x) \) & \( -\cos(x)+C \) & \( \mathbb{R} \)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Tableau 2 : primitives et opérations}

\( F, U, V \) sont des primitives respectivement de \( f, u, v \) ; \( k \) est un réel. 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace{1cm} \( f(x) \) \hspace{1cm} & \hspace{1cm} \( F(x) \) \hspace{1cm}  & \hspace{1cm}  Condition  \hspace{1cm} \\
\hline
\( u(x)+v(x) \) & \( U(x)+V(x) \) & \\
\( k\cdot u(x) \) & \( k \cdot U(x) \) & \\
\( u'(x)\cdot u^n(x) \), \( n \in \mathbb{N}\) & \( \dfrac{U^{n+1}(x)}{n+1} +C \) & \\
\( u'(x)\cdot u^n(x)  \), \( n \) entier \(\leq -2 \) & \( \dfrac{U^{n+1}(x)}{n+1} +C \) & \( u(x)\neq 0\)\\
\( \dfrac{u'(x)}{u(x)} \) & \( \ln(u(x))+C \) & \( u(x)\in ]0;+\infty[ \)\\
\( u'(x)\cdot \e^{u(x)} \) & \( \e^{u(x)}+C \) &  \\
\(\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\) & \(  2\sqrt{u(x)}+C \) & \( u(x)\in ]0;+\infty[ \)\\
\(u(ax+b) \) & \( \dfrac{1}{a}\cdot U(ax+b)+C \) & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\section{Intégrale d'une fonction continue}
\subsection{Définition}
\begin{propriete}
Soit \( f \) une fonction continue sur \( I \) et soient \( F \) et \( G \), deux primitives de \( f \) sur \( I \). Soient \( a, b \in I \). On a alors : \( F(b)-F(a)=G(b)-G(a) \).
\end{propriete}
\begin{proof}
D'après la propriété \ref{deux_primitives}, \( G(x)=F(x)+C \) où \( C \) est une constante. 

Alors \( G(b)-G(a)=F(b)+C-(F(a)+C)=F(b)-F(a) \).
\end{proof}
Cette propriété conduit à poser la définition suivante.

\begin{definition}\label{definition_integrale}
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), \( a \) et \( b \) deux réels de \( I \) et \( F \) une primitive quelconque de \( f \) sur \( I \). On appelle intégrale de \( a \) à \( b \) le nombre : \[ \int_a^bf(x) dx=F(b)-F(a) \]
\end{definition}

Remarque :

Dans la notation \(\int_a^b f(x) dx\), la variable \( x \) ne joue aucun rôle (c'est ce qu'on appelle une variable muette). On peut remplacer \( x \) par n'importe quelle lettre. Ainsi : \(\int_a^b f(x) dx=\int_a^b f(t) dt=\int_a^b f(u) du\), etc.
\subsection{Lien avec l'aire sous la courbe}
Soit \( f \) une fonction continue positive sur \( [a;b] \), \( F \) une de ses primitives, et \( x\in[a;b] \). D'après le théorème \ref{theoreme_aire_derivee}, l'aire \( \mathscr{A}(a;x) \) sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( x \), est une primitive de \( f \). Par conséquent, \( \mathscr{A}(a;x)=F(x)+C \) où \( C \) est une constante. D'autre part, cette aire est nulle pour \( x=a \). Donc \( F(a)+C=0 \), d'où \( C=-F(a) \). Donc,  \( \mathscr{A}(a;x)=F(x)-F(a) \). On obtient:
\begin{propriete}
Si \( f \) est continue positive sur \( [a;b] \), alors l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( b \) est \( \int_a^bf(x) dx \).
\end{propriete}
\subsection{Propriétés de l'intégrale}
\begin{propriete}
Soient \( f \) et \( g \), deux fonctions continues sur un intervalle \( I \) ; soient \( a, b, c\in I \), et soit \( k \), un réel. Les propriétés suivantes se démontrent à partir de la définition \ref{definition_integrale}.
\begin{enumerate}
\item Relation de Chasles : \[\int_a^b f(t) dt=\int_a^c f(t) dt+\int_c^b f(t) dt\]
\item Linéarité :\[ \int_a^b \left( f(t)+g(t) \right) dt=\int_a^b f(t) dt+\int_a^b g(t) dt \qquad \text{et}\qquad \int_a^b k f(t) dt=k \int_a^b f(t) dt\]
\item Positivité : Si \( a \leq b \) et\( f \geq 0\) sur \( [a;b] \) alors
\(\displaystyle \int_a^b f(t) dt \geq 0\)
\item Conséquence :  Si \( a \leq b \) et\( f \leq g\) sur \( [a;b] \) alors
\(\displaystyle \int_a^b f(t) dt \leq \int_a^b g(t) dt \)

\end{enumerate}
\end{propriete}
\subsection{Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle}
\begin{definition}
On appelle valeur moyenne d'une fonction \( f \) sur l'intervalle \( [a;b] \) le nombre :
 \[\mu =\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t) dt \] 
\end{definition}
Interprétation : Soit \( g : g(x)=\mu \) pour tout \( x \) (\( g \) est constante), alors \( \int_a^b g(t) dt=\int_a^b f(t) dt \). 

Si \( f \) est positive, l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) est égale à celle du rectangle de largeur \( b-a \) et de hauteur \( \mu \).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
    %\draw[dotted] (-0.1,-1.1) grid (6,5);
    \coordinate (A) at (1,1);
    \coordinate (D) at (6,2.6);
    \coordinate (B) at (1,0);
    \coordinate (C) at (6,0);
    \fill[color=gray!20] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(D)--(C)--(B)--cycle;
    \draw[->,>=latex] (-0.2,0) -- (6.3,0) ;
    \draw[->,>=latex] (0,-0.2) -- (0,4.3);
    \draw[thick] (A) .. controls (3,1) and (4,4.8)..(D)node[midway,above ]{$\mathscr{C}_f$};
     \draw (1,0) node[below]{$a$}-- (A); 
     \draw (6,0) node[below]{$b$}-- (D);
     \filldraw[pattern=north east lines] (6,2.3) rectangle(1,0);
     \draw[dashed] (1,2.3)-- (0,2.3) node[left]{$\mu$};
    %\path (4,2) node{};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{propriete}[(Inégalité de la moyenne]
Soit \( f \) continue sur \( [a;b] \) et soient \( m \) et \( M \) deux nombres tels que pour tout \( x \in [a;b] \), \( m \leq f(x) \leq M \) (on dit que \( m \) est un minorant et \( M \) un majorant de \( f \) sur \( [a;b] \).) 

Alors la valeur moyenne \( \mu \) de \( f \) sur \( [a;b] \) vérifie : \( m \leq \mu \leq M \). Autrement dit :
\[m(b-a) \leq \int_a^b f(t) dt \leq M(b-a) \]
\end{propriete}
\section{Calcul approché d'une intégrale par la méthode des rectangles}

On veut calculer l'intégrale d'une fonction continue \( f \) entre \( a \) et\( b \). Considérons le cas où \( f \) est positive sur \( [a;b] \). On cherche alors une valeur approchée de l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( b \). On divise l'intervalle \( [a;b] \) en \( n \) parties égales: on obtient ainsi \( n \) valeurs: \( x_0=a, x_1, x_2, ..., x_{n-1}, x_n=b \). On construit \( n \) rectangles de base \( [x_k;x_{k+1}] \), de hauteur \( f(\theta_k) \), où \( \theta_k \in [x_k;x_{k+1}]\). En général, on prend \( \theta_k = x_k\), ou \( \theta_k =x_{k+1}\), ou encore \( \theta_k =\dfrac{x_k+x_{k+1}}{2}\). La figure~1, ci-dessous illustre le premier cas avec \( n=6 \).
\begin{center}
\shorthandoff{:}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,domain=-0.5:6.2]
%\clip(-0.8,-3.31) rectangle (8.63,5);
   % \draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (6,4);
    \draw[->,>=latex] (-0.7,0) -- (6.5,0);
    \draw[->,>=latex] (-0.5,-1.2) -- (-0.5,4.2);
    \fill[color=gray!20] (0,0)--plot[domain=0:6] (\x,{0.5*\x+1+sin(deg(\x))}) -- (6,0)-- cycle;
    \draw[color=blue,thick] plot[smooth] (\x,{0.5*\x+1+sin(deg(\x))}) 
        node[left] {$\mathscr{C}_f$};
   
 
\foreach \k in {0,...,5}
{ \path (\k,0) coordinate (A\k);
  \path ({\k+1},{0.5*\k+1+sin(deg(\k))}) coordinate (B\k);
  \draw [pattern=crosshatch dots] (A\k) rectangle (B\k); 
  \path (A\k) node[below]{$x_\k$};
 }
  \path (6,0) node[below]{$x_6$}; 
\draw[dashed] (0,1) -- (-0.5,1)node[left]{$f(x_0)$};
\draw[dashed] (1,{1.5+sin(deg(1))}) -- (-0.5,{1.5+sin(deg(1))})node[left]{$f(x_1)$};
\path(3,-1) node {Fig. 1};

\end{tikzpicture}
\shorthandon{:}
\shorthandoff{:}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,domain=-0.5:6.2]
%\clip(-0.8,-3.31) rectangle (8.63,5);
   % \draw[very thin,color=gray] (-0.1,-1.1) grid (6,4);
    \draw[->,>=latex] (-0.7,0) -- (6.5,0);
    \draw[->,>=latex] (-0.5,-1.2) -- (-0.5,4.2);

\foreach \k in {0,...,5}
{ \path (\k,0) coordinate (A\k);
  \path ({\k+1},{0.5*\k+1+0.4*sin(deg(\k))}) coordinate (B\k);
  \path ({\k+1},{0.5*(\k+1)+1+0.4*sin(deg(\k+1))}) coordinate (C\k);
  \path (\k+1,0) coordinate (D\k);
  \filldraw [fill=gray!20] (A\k) rectangle (C\k);  
  \draw [pattern=crosshatch dots] (A\k) rectangle (B\k);
  
  \path (A\k) node[below]{$x_\k$};
 }
  \path (6,0) node[below]{$x_6$}; 
  \draw[color=blue,thick] plot[smooth] (\x,{0.5*\x+1+0.4*sin(deg(\x))}) 
        node[left] {$\mathscr{C}_f$};
\draw[dashed] (0,1) -- (-0.5,1)node[left]{$f(x_0)$};
\draw[dashed] (0,{1.5+0.4*sin(deg(1))}) -- (-0.5,{1.5+0.4*sin(deg(1))})node[left]{$f(x_1)$};
\path(3,-1) node {Fig. 2};
\end{tikzpicture}
\shorthandon{:}
\end{center}
Si la fonction \( f \) ne varie pas trop sur chacun des intervalles \( [x_k;x_{k+1}] \), l'aire sous la courbe entre \( x_k \) et \( x_{k+1} \) est proche de l'aire du rectangle de base \( [x_k;x_{k+1}] \). La somme des aires de chacun des rectangles est donc une valeur approchée de l'aire sous la courbe \( \mathscr{C}_f \) entre \( a \) et \( b \). Lorsque l'on fait tendre \( n \) vers \( +\infty \), on démontre que la somme des aires des rectangles tend vers \( \int_a^b f(t) dt \).

Dans le cas particulier où \( f \) est croissante, on voit que l'aire sous la courbe entre \( x_k \) et \( x_{k+1} \) est comprise entre les deux rectangles de base \( [x_k;x_{k+1}] \), l'un de hauteur \( f(x_k) \) et l'autre de hauteur \( f(x_{k+1}) \), comme le montre la figure~2. En nommant \( \mathscr{A}_i \) la somme des aires des petits rectangles et \( \mathscr{A}_s \) la somme des aires des grands rectangles, on obtient donc : \( \mathscr{A}_i \leq \int_a^b f(t) dt \leq \mathscr{A}_s \).

Prenons l'exemple où le rectangle de base \( [x_k;x_{k+1}] \), a pour hauteur \( f(x_k) \). Posons: \( h=\dfrac{b-a}{n}=x_{k+1}-x_k \). 

En appliquant le principe précédent, on trouve :
\[ \int_a^b f(t) dt \simeq \dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{k=n-1}{f(x_k)}=\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{k=n-1}{f \left(a+k \dfrac{b-a}{n}\right)} \]
\tableofcontents
\end{document}