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\title{Loi normale - Estimation}
\date{}% Pour éviter d'avoir la date dans le titre
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%Compteurs
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\setcounter{tocdepth}{1} %La présence dans la table des matières s'arrête à "section"
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\begin{document}
\maketitle

\section{La loi normale centrée réduite}
\subsection{Définition}
\begin{definition}
La loi normale centrée réduite est la loi définie sur \(\mathbb{R}\) dont la densité est:
\[\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{\;x^2}{2}} \]
\end{definition}

La fonction \(\varphi\) est continue (car composée de fonctions continues) et positive.

On admet que \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) \mathrm{d}x=1\) ce qui signifie (rappel): \(\displaystyle \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} \varphi(x) \mathrm{d}x+\lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} \varphi(x) \mathrm{d}x=1\).

\textbf{Notation}: La loi normale centrée réduite se note : \(\mathcal{N}(0;1)\).

\textbf{Interprétation}: Dire que la variable aléatoire \(X\) suit la loi normale centrée réduite signifie que pour tous réels \(a\) et \(b\) avec \(a<b\), on a : \(\displaystyle P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{\;x^2}{2}} \mathrm{d}x\).

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[domain=-4:5,yscale=12]
    \draw[->] (-4.1,0) -- (5.1,0) node[right] {$x$};
    \draw[->] (0,-0.02) -- (0,0.42) node[right] {$\varphi(x)$};
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (0.5,0) node[below]{$a$} -- 
        plot[domain=0.5:2,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (2,0) node[below]{$b$} -- cycle;
    \draw (1.2,0.12)--(3,0.2)node[above right]{$P(a \leq X \leq b)$};    
    \draw[color=red,smooth,thick,samples=50] plot (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)});
    \draw [ystep=0.05,dotted](-4,0) grid (4,0.45);
    \path (0,0) node [below left]{0};
    \path (4,0) node [below]{4};
    \path (0,0.1) node [left]{0,1};
\end{tikzpicture}

\end{center}

\textbf{Remarques} :
\begin{enumerate}
\item La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Autrement dit, la fonction \(\varphi\) est paire.
\item La croissance et la décroissance de \(\varphi\) sont extrêmement rapides. Un tableau de valeurs donne :


\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & 0 & 1 & 2 & 3 & 5 & 10 & 20 \\
\hline
\varphi(x) & 0,399 & 0,242 & 0,053 & 0,004 & 1,5\times 10^{-6} & 8\times 10^{-23} & 6\times 10^{-88} \\
\hline
\end{array}\]

\item Vu la définition, \(P(a\leq X\leq b)\) est l'aire sous la courbe entre les droites d'équation \(x=a\) et \(x=b\). Comme la courbe est symétrique par rapport à \((Oy)\), alors \(P(X\leq -a)=P(X\geq a)=1-P(X\leq a)\).
\end{enumerate}

\subsection{Fonction de répartition}
Comme l'aire totale sous la courbe est 1 et que la courbe est symétrique, l'aire à gauche de \((Oy)\) et à droite de \((Oy)\) valent toutes deux \(\frac{1}{2}\). On a donc : \(P( X\leq 0)=\frac{1}{2}\).

Soit \(X\) une v.a. réelle. La fonction de répartition de \(X\)est la fonction \(\Phi\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\Phi(x)=P(X\leq x)\).

Si \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(0;1)\), alors \(\Phi\) est la primitive de \(\varphi\) qui vaut \(\frac{1}{2}\) en 0.

Autrement dit, on a pour tout \(x\in \mathbb{R}\) : \(\displaystyle \Phi(x)= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\e^{-\frac{\;x^2}{2}}\mathrm{d}x\) et \(\Phi(0)=\dfrac{1}{2}\).

On en déduit : \(P(a\leq X\leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)\).

\textbf{Remarques} :
\begin{enumerate}
\item La fonction \(\Phi\) ne peut pas s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles (il n'y a pas de "formule"). Il existe par contre des tables, et la fonction est accessible sur beaucoup de logiciels et de calculatrices.
\item Vu la définition, on a \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\Phi(x)=0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Phi(x)=1\).
\item Formule utile : On a vu que \(P(X\leq -a)=1-P(X\leq a)\). Cela s'écrit aussi : \(\Phi(-a)=1-\Phi(a)\).

Par conséquent : \(P(-a\leq X\leq a)=\Phi(a)-\Phi(-a)=\Phi(a)-(1-\Phi(a))=2\Phi(a)-1\).
\end{enumerate}
\subsection{Calcul numérique}\label{calcul} 
On cherche une valeur approchée de \(P(a\leq X\leq b)=\Phi(b)-\Phi(a)\) à l'aide d'une calculatrice.

Marche à suivre pour une T.I. disposant des fonctions stats (TI82 stats, TI83, etc.) :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Taper \texttt{distrib} (\texttt{2nde} puis \texttt{var}). 
\item[$\bullet$] Choisir le deuxième item : \texttt{normalFrép} ou \texttt{normalcdf} (cdf : cumulative distribution function).
\item[$\bullet$] Taper les arguments dans l'ordre: valeur de \(a\), valeur de \(b\).
\item[$\bullet$] Fermer la parenthèse et valider.
\end{itemize}
\textbf{Exemple 1 }: Calculer \(P(1\leq X\leq 2)\). On tape \texttt{normalFrép(1,2)} ou \texttt{normalcdf(1,2)} ; ça donne \(\simeq\) 0,136.

\textbf{Exemple 2} : Calculer \(P(X\leq 0)\). On transforme d'abord ce calcul en \(P(a\leq X\leq 0)\) en prenant \(a\) assez petit pour que la valeur de \(\Phi(a)\) soit très petite. Il suffit de prendre \(a=-100\) ou même \(a=-10\).

On tape \texttt{normalFrép(-10,0)} ou \texttt{normalcdf(-10,0)} ; ça donne \(\simeq\) 0,5 (à \(10^{-9}\) près).

\subsection{Application - Intervalles particuliers en lien avec la loi normale centrée réduite}\label{alpha}
Soit \(\alpha\in]0;1[\) et \(X\) une v.a. qui suit une loi normale centrée réduite.
\begin{propriete}
Il existe un unique réel positif \(u_\alpha\) tel que \(P(-u_\alpha\leq X\leq u_\alpha)=1-\alpha\).

\end{propriete}

Visuellement, \(\alpha\) représente l'aire "des bords". En pratique, on prend souvent \(\alpha= \) 0,05 ou \(\alpha= \) 0,01.

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[domain=-4:5,yscale=6]
    \draw[->] (-4.1,0) -- (5.1,0);
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (-4,0) -- 
        plot[domain=-4:-1.5,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (-1.5,0) node[below]{$-u_\alpha$} -- cycle;
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (1.5,0) node[below]{$u_\alpha$} -- 
        plot[domain=1.5:5,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (5,0) -- cycle;
    \filldraw[draw=blue,fill=pink!40] 
        (-1.5,0) -- 
        plot[domain=-1.5:1.5,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (1.5,0) -- cycle;    
    \draw (0.8,0.2)--(3,0.3)node[above right]{Aire : $1-\alpha$};  
    \draw (-2,0.02)--(2.1,-0.2)node[below right]{Aire : $\alpha$}; 
    \draw (2,0.02)--(2.2,-0.2);
    \draw[color=red,smooth,thick,samples=50] plot (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)});
\end{tikzpicture}

\end{center}

\begin{proof}
On a vu que pour tout \(x\), \(P(-x\leq X\leq x)=2\Phi(x)-1\).

Il suffit donc de démontrer que l'équation \(2\Phi(x)-1=1-\alpha\) a une solution unique dans \(\mathbb{R}\). Cette équation est équivalente à : \(\Phi(x)=1-\dfrac{\alpha}{2}\).

Comme \(\alpha\in]0;1[\) alors \(1-\dfrac{\alpha}{2}\in ]0,\!5;1[ \). La fonction \(\Phi\) est continue (car dérivable), strictement croissante (car sa dérivée \(\varphi\) est strictement positive) ; de plus, on a  : \(\Phi(0)=0,\!5\) et \(\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\Phi(x)=1\).

D'après le théorème de la bijection, on a donc : quel que soit \(y\in ]0,\!5;1[\), l'équation \(\Phi(x)=y\) a donc une solution unique dans \(]0;+\infty[\). On applique ce résultat avec \(y=1-\dfrac{\alpha}{2}\) et on note \(u_\alpha\) la solution.
\end{proof}

\textbf{Calcul numérique de \(u_{0,05}\) et \(u_{0,01}\)}:

À l'aide de la calculatrice, on cherche \(x\) tel que \(\Phi(x)=1-\dfrac{0,05}{2}=\) 0,975.

Un tableau de valeur (ou l'utilisation de la fonction \texttt{FracNormale()}) permet de trouver : \(u_{0,05}\simeq\) 1,96.

Vérification : on tape \texttt{normalFrép(-1.96,1.96)} ; ça donne \(\simeq\) 0,95.

Par la même méthode, on trouve : \(u_{0,01}\simeq\) 2,58.

\begin{tikzpicture}[domain=-4:4,yscale=4]
    \draw[->] (-4.1,0) -- (4.1,0);
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (-4,0) -- 
        plot[domain=-4:-1.5,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (-1.5,0) node[below]{--1,96} -- cycle;
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (1.5,0) node[below]{1,96} -- 
        plot[domain=1.5:4,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (4,0) -- cycle;
    \draw (-2,0.02)--(2.1,0.2)node[above right]{Aire : 0,05}; 
    \draw (2,0.02)--(2.2,0.2);
    \draw[color=red,smooth,thick,samples=50] plot (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)});
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[domain=-4:4,yscale=4]
    \draw[->] (-4.1,0) -- (4.1,0);
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (-4,0) -- 
        plot[domain=-4:-2,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (-2,0) node[below]{--2,58} -- cycle;
    \filldraw[draw=blue,fill=blue!20] 
        (2,0) node[below]{2,58} -- 
        plot[domain=2:4,smooth] (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)}) --
        (4,0) -- cycle;
    \draw (-2.2,0.01)--(2.1,0.2)node[above right]{Aire : 0,01}; 
    \draw (2.2,0.01)--(2.2,0.2);
    \draw[color=red,smooth,thick,samples=50] plot (\x,{0.399*exp(-((\x)^2)/2)});
\end{tikzpicture}

\subsection{Espérance et variance}
Soit \(X\) une v.a. suivant la loi \(\mathcal{N}(0;1)\).

\begin{propriete}
L'espérance de \(X\) est \(\mathrm{E}(X)=0\) et la variance de \(X\) est \(\mathrm{Var}(X)=1\).
\end{propriete}
On en déduit que l'écart-type vaut aussi 1.
\section{La loi normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\)}
\subsection{Définition}
Soient \(\mu, \sigma\) deux réels avec \(\sigma>0\).
\begin{definition}
On dit que la v.a. \(X\) suit la loi normale de paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\) si la variable aléatoire \(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite.
\end{definition}
Notation : On écrit que \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)\).
\subsection{Espérance et variance}

\begin{propriete}
Si \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)\), alors \(\mathrm{E}(X)=\mu\) et \(\mathrm{Var}(X)=\sigma^2\).
\end{propriete}
On en déduit que l'écart-type de \(X\) est \(\sigma\).
\subsection{Calcul numérique}
On veut calculer \(P(a\leq X\leq b)\). C'est la méthode déjà vue en \ref{calcul}, à ceci près qu'on doit préciser les valeurs de \(\mu\) et \(\sigma\) après avoir tapé les bornes \(a\) et \(b\).
\begin{itemize}
\item[\(\bullet\)] Taper \texttt{distrib}.
\item[\(\bullet\)] Choisir \texttt{normalFrép} ou \texttt{normalcdf}.
\item[\(\bullet\)] Taper les arguments dans l'ordre : \(a\), \(b\), \(\mu\), \(\sigma\).
\item[\(\bullet\)] Fermer la parenthèse et valider.
\end{itemize}
\textbf{Exemple 1} : Sachant que \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(2;3^2)\), calculer \(P(-5\leq X\leq 0)\). On tape \texttt{normalFrép(-5,0,2,3)} ; ça donne \(\simeq\) 0,243.

\textbf{Exemple 2} : Sachant que \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(-1;0,\!7^2)\), calculer \(P(X\leq 0,\!3)\). On tape \texttt{normalFrép(-10,0.3)} ; ça donne \(\simeq\) 0,968.
\subsection{Valeurs approchées de certaines probabilités}
On a : \(P(X\in [\mu-\sigma ; \mu+\sigma])=P(\mu-\sigma\leq X\leq \mu+\sigma)=P(-\sigma\leq X-\mu\leq \sigma)=P\left( -1\leq \dfrac{X-\mu}{\sigma}\leq 1\right) \).

Comme \(\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) suit la loi \(\mathcal{N}(0;1)\), alors la valeur de \(P(X\in [\mu-\sigma ; \mu+\sigma]) \) est toujours la même, quelles que soient les valeurs de \(\mu\) et \(\sigma\).

On tape \texttt{normalFrép(-1,1)} ; ça donne \(\simeq\) 0,683. Donc \(P(X\in [\mu-\sigma ; \mu+\sigma])\simeq\) 0,683.

On trouve de la même façon : \(P(X\in [\mu-2\sigma ; \mu+2\sigma])\simeq\) 0,954 et \(P(X\in [\mu-3\sigma ; \mu+3\sigma])\simeq\) 0,997.

Si on reprend la définition de \(u_\alpha\) donnée en \ref{alpha}, on peut écrire : \(P(X\in [\mu-u_\alpha\sigma ; \mu+u_\alpha\sigma])=1-\alpha\).

En particulier :
\begin{center}
 \(P(X\in [\mu-1,96\sigma ; \mu+1,96\sigma])\simeq\) 0,95 et \(P(X\in [\mu-2,58\sigma ; \mu+2,58\sigma])\simeq\) 0,99.
\end{center}
\section{Le théorème de Moivre-Laplace}
Ce théorème indique, en substance, que lorsque \(n\) devient très grand, la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\) peut être approchée par une loi normale.

Soit \(X_n\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\), de paramètres \(n\) et \(p\).

Rappel : \(p\) est la probabilité d'un succès au cours d'une épreuve de Bernoulli ; \(n\) est le nombre de répétitions (indépendantes) de cette épreuve.

D'autre part, rappelons que \(\mathrm{E}(X_n)=np\) (espérance de \(X_n\)) et \(s(X_n)=\sqrt{np(1-p)}\) (écart-type de \(X_n\)).

On introduit la variable aléatoire \(Z_n=\dfrac{X_n-\mathrm{E}(X_n)}{s(X_n)}=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\). Alors :
\begin{theoreme}[Moivre-Laplace]
\begin{center}
Pour tous \(\displaystyle a, b \in\mathbb{R}, \lim_{n\to+\infty}P(a\leq Z_n \leq b)=\int_{a}^{b}\dfrac{1}{2\pi}\e^{-\frac{\;x^2}{2}}  \mathrm{d}x\).
\end{center}
\end{theoreme}
Autrement dit, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P(a\leq Z_n \leq b)=P(a\leq Y \leq b)\), où \(Y\) suit la loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0;1)\).

\textbf{Remarque} : La convergence est d'autant meilleure que \(p\) est proche de 0,5.

\textbf{Illustration}: les graphiques ci-dessous montrent
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] en vert : l'histogramme de \(P(Z_n)\) pour \(p=0,\!7\) et différentes valeurs de \(n\),
\item[$\bullet$] en rouge : la densité de la loi \(\mathcal{N}(0;1)\).
\end{itemize}

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
xmin=-6,
xmax=6,
ymax=0.42,
grid=both,
title={$n=10, p=0,7$}]
\addplot [ybar,bar width=11.2,draw=blue,fill=green!30] coordinates {
(-4.83045891539648,8.55701305485741e-06)
(-4.14039335605413,0.000199663637946673)
(-3.45032779671177,0.00209646819844007)
(-2.76026223736942,0.013044691012516)
(-2.07019667802706,0.0532658216344402)
(-1.38013111868471,0.149144300576432)
(-0.690065559342354,0.290002806676396)
(0,0.386670408901862)
(0.690065559342354,0.338336607789129)
(1.38013111868471,0.1754337966314)
(2.07019667802706,0.0409345525473267)};
\addplot [draw=red,smooth,thick]{{0.3989*exp(-x^2/2)}};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
xmin=-6,
xmax=6,
ymax=0.42,
grid=both,
title={$n=25, p=0,7$}]
\addplot [ybar,bar width=7.1,draw=blue,fill=green!30] coordinates {
(-7.63762615825973,1.94138209412322e-13)
(-7.20119037778775,1.13247288823854e-11)
(-6.76475459731576,3.17092408706791e-10)
(-6.32831881684378,5.67243086686593e-09)
(-5.89188303637179,7.27961961247795e-08)
(-5.45544725589981,7.1340272202284e-07)
(-5.01901147542782,5.5486878379554e-06)
(-4.58257569495584,3.51416896403843e-05)
(-4.14613991448385,0.000184493870612017)
(-3.70970413401187,0.000813139651956673)
(-3.27326835353989,0.0030357213673049)
(-2.8368325730679,0.00965911344142469)
(-2.40039679259592,0.0262942532572116)
(-1.96396101212393,0.0613532576001605)
(-1.52752523165195,0.122706515200321)
(-1.09108945117996,0.209964481564994)
(-0.654653670707977,0.306198202282282)
(-0.218217890235992,0.378244838113408)
(0.218217890235992,0.392253906191682)
(0.654653670707977,0.337200726375306)
(1.09108945117996,0.236040508462714)
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(1.96396101212393,0.0556324430720201)
(2.40039679259592,0.0169316131088757)
(2.8368325730679,0.0032922581045036)
(3.27326835353989,0.000307277423087003)};
\addplot [draw=red,smooth,thick]{{0.3989*exp(-x^2/2)}};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\begin{axis}[
xmin=-6,
xmax=6,
ymax=0.42,
ticks=both,
grid=both,
title={$n=100, p=0,7$}]
\addplot [ybar,bar width=3.5,draw=blue,fill=green!30] coordinates {
(-15.2752523165195,2.36175650023314e-52)
(-15.0570344262835,5.51076516721061e-50)
(-14.8388165360475,6.36493376812834e-48)
(-14.6205986458115,4.85149396104001e-46)
(-14.4023807555755,2.74513699962181e-44)
(-14.1841628653395,1.22982137583059e-42)
(-13.9659449751035,4.54350674959625e-41)
(-13.7477270848675,1.4236321148735e-39)
(-13.5295091946315,3.86160211159435e-38)
(-13.3112913043955,9.21063614765478e-37)
(-13.0930734141595,1.95572507535202e-35)
(-12.8748555239235,3.73365696203563e-34)
(-12.6566376336876,6.46130079818947e-33)
(-12.4384197434516,1.02055417735506e-31)
(-12.2202018532156,1.47980355716483e-30)
(-12.0019839629796,1.97964831425161e-29)
(-11.7837660727436,2.45393905620774e-28)
(-11.5655481825076,2.82924738245129e-27)
(-11.3473302922716,3.04406060963741e-26)
(-11.1291124020356,3.06542243847694e-25)
(-10.9108945117996,2.89682420436072e-24)
(-10.6926766215636,2.57495484832066e-23)
(-10.4744587313276,2.15750004715351e-22)
(-10.2562408410916,1.70723916774755e-21)
(-10.0380229508556,1.27805821029991e-20)
(-9.81980506061966,9.0656929050607e-20)
(-9.60158717038366,6.1019086860985e-19)
(-9.38336928014767,3.90220827086302e-18)
(-9.16515138991168,2.37384336477499e-17)
(-8.94693349967569,1.37519201821448e-16)
(-8.72871560943969,7.59411592280664e-16)
(-8.5104977192037,4.00120086255401e-15)
(-8.29227982896771,2.01310418397249e-14)
(-8.07406193873172,9.67916759162537e-14)
(-7.85584404849572,4.4505192161493e-13)
(-7.63762615825973,1.95822845510568e-12)
(-7.41940826802374,8.24994395438054e-12)
(-7.20119037778775,3.32970710951573e-11)
(-6.98297248755175,1.28807090815476e-10)
(-6.76475459731576,4.77797242853985e-10)
(-6.54653670707977,1.70016185582211e-09)
(-6.32831881684378,5.80543072719744e-09)
(-6.11010092660779,1.90289118280361e-08)
(-5.89188303637179,5.98894434277723e-08)
(-5.6736651461358,1.81029453997585e-07)
(-5.45544725589981,5.25655896052246e-07)
(-5.23722936566382,1.46650376797185e-06)
(-5.01901147542782,3.93147818647774e-06)
(-4.80079358519183,1.01290167165502e-05)
(-4.58257569495584,2.50813747266959e-05)
(-4.36435780471985,5.96936718495358e-05)
(-4.14613991448385,0.000136554151289789)
(-3.92792202424786,0.000300244063412802)
(-3.70970413401187,0.000634478020796869)
(-3.49148624377588,0.00128853869655659)
(-3.27326835353989,0.0025146027896438)
(-3.05505046330389,0.00471488023058208)
(-2.8368325730679,0.00849229889484966)
(-2.61861468283191,0.0146907009617801)
(-2.40039679259592,0.0244015032924484)
(-2.18217890235992,0.038906841360737)
(-1.96396101212393,0.0595295933388327)
(-1.74574312188794,0.0873740805457058)
(-1.52752523165195,0.122970928175438)
(-1.30930734141595,0.165882658319992)
(-1.09108945117996,0.214371435367374)
(-0.872871560943969,0.2652575841667)
(-0.654653670707977,0.314086094684949)
(-0.436435780471985,0.355656313099133)
(-0.218217890235992,0.384864802580704)
(0,0.397693629333394)
(0.218217890235992,0.392092310610389)
(0.436435780471985,0.368494162286615)
(0.654653670707977,0.329793862137793)
(0.872871560943969,0.280770450198391)
(1.09108945117996,0.22711209749381)
(1.30930734141595,0.174318495883406)
(1.52752523165195,0.126777087915205)
(1.74574312188794,0.0872269707450767)
(1.96396101212393,0.0566791286697966)
(2.18217890235992,0.0347159663102505)
(2.40039679259592,0.0200009682445887)
(2.61861468283191,0.0108135316119118)
(2.8368325730679,0.00547190756265416)
(3.05505046330389,0.00258395634903114)
(3.27326835353989,0.00113491416114308)
(3.49148624377588,0.000461883670232649)
(3.70970413401187,0.000173427584991569)
(3.92792202424786,5.9779963008458e-05)
(4.14613991448385,1.88071793734475e-05)
(4.36435780471985,5.36352893242757e-06)
(4.58257569495584,1.37526382882758e-06)
(4.80079358519183,3.13918917449776e-07)
(5.01901147542782,6.30088149719981e-08)
(5.23722936566382,1.094834019017e-08)
(5.45544725589981,1.61343960697239e-09)
(5.6736651461358,1.96077730014007e-10)
(5.89188303637179,1.88665857058152e-11)
(6.11010092660779,1.34761326470109e-12)
(6.32831881684378,6.35238575953366e-14)
(6.54653670707977,1.4822233438912e-15)
};
\addplot [draw=red,smooth,thick]{{0.3989*exp(-x^2/2)}};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

\section{Intervalles de fluctuation}
\subsection{Définition}
\begin{small}

Soit \(\alpha\in]0;1[\) et soit \(X_n\) une v.a. suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\).

Posons comme précédemment : \(Z_n=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\), et comme en \ref{alpha}, soit \(u_\alpha\) l'unique réel tel que \mbox{\(\displaystyle \int_{-u_\alpha}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d}x=1-\alpha\)}.

D'après le théorème de Moivre-Laplace, on a : 

\(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}P(-u_\alpha \leq Z_n \leq u_\alpha)=\int_{-u_\alpha}^{u_\alpha} \varphi(x) \mathrm{d}x=1-\alpha\),
c'est à dire : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}P\left(-u_\alpha \leq \dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leq u_\alpha \right)=1-\alpha\).

Multiplions par \(\sqrt{np(1-p)}\), qui est positif et ajoutons \(np\) : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}P(np-u_\alpha \sqrt{np(1-p)} \leq X_n \leq np+u_\alpha \sqrt{np(1-p)})=1-\alpha\).

Divisons par \(n\) et simplifions par \(\sqrt{n}\) : \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}P\left(p-u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \leq \dfrac{X_n}{n} \leq p+u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha\).

Cette propriété peut se reformuler ainsi :

\end{small}

Notons \(I_n\) l'intervalle \(\left[ p-u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \) ; alors  \(\displaystyle \lim_{n\to +\infty}P\left( \dfrac{X_n}{n} \in I_n \right) =1-\alpha\).

On dit que \(I_n\) est un \textbf{intervalle de fluctuation asymptotique} au seuil \(1-\alpha\) de la variable aléatoire fréquence \(F_n=\dfrac{X_n}{n}\) qui à tout échantillon (aléatoire) de taille \(n\) associe la fréquence obtenue.

\subsection{Interprétation}
On considère un schéma de Bernoulli, c'est à dire la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, pour lesquelles la probabilité d'un succès est \(p\).

Si \(n\) est assez grand, et \(p\) pas trop proche de 0 et 1, la probabilité que la fréquence des succès appartienne à \(I_n\) est voisine de \(1-\alpha\). Remarquons que \(I_n\) est un intervalle centré en \(p\) et de largeur \(2 u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\).

Quand \(n\) devient très grand, \(2 u_\alpha \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\) devient très petit. Ainsi, l'intervalle \(I_n\) est de plus en plus "resserré" autour de \(p\). Autrement dit, la probabilité que la fréquence obtenue s'éloigne significativement de \(p\) devient très faible.

\subsection{Application : intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\%}
Appliquons la propriété précédente avec \(\alpha = 0,05\). On a vu que \(u_{0,05} \simeq\) 1,96.

On a dans ce cas : \(I_n \simeq \left[ p-1\!,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1\!,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right] \)  et on peut  affirmer : lorsque \(n\) est suffisamment grand, \(P\left( \dfrac{X_n}{n} \in I_n \right) \) est proche de 95\%.

Considérons le cas où on cherche à estimer la proportion \(p\) des individus présentant une certaine caractéristique A au sein d'une (grande) population. Si on réalise une assez grande série d'échantillons de taille \(n\) assez grande, et qu'on détermine pour chacun la fréquence \(f\) de la caractéristique A, on va trouver en général que pour environ 95\% des cas, \(f\) appartient à \(I_n\).

Avec les exigences usuelles de précision, on pratique cette approximation dès que \(n \geq 30\), \(np \geq 5\) et \(n(1 − p) \geq 5\).

\textbf{Remarque} :
\begin{small}


On peut majorer l'expression \(\sqrt{p(1-p)}\) par 0,5. Comme 1,96 \(\leq\) 2, on a : \(1,\!96\times\sqrt{p(1-p)}\leq 1\).
 
Par conséquent, l'intervalle \(I_n\) est inclus dans l'intervalle \(J_n=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \).

Or, \(I_n \subset J_n\) implique \(P\left( \dfrac{X_n}{n} \in I_n \right)\leq P\left( \dfrac{X_n}{n} \in J_n \right) \). Donc, pour \(n\) suffisamment grand, \mbox{\(P\left( \dfrac{X_n}{n} \in J_n \right)\geq 95\% \)}.

On retrouve l'intervalle de fluctuation vu en seconde : en général, les fréquences observées d'un échantillon de taille \(n\) appartiennent dans au moins 95\% des cas à \(J_n\).

\end{small}

\subsection{Application : prise de décision}
\textbf{Premier exemple.} On fait l'hypothèse que la fréquence du caractère A (autrement dit la proportion des individus ayant le caractère A) dans la population totale est \(p\).
On va tester cette hypothèse en prenant un échantillon de taille \(n\) et en calculant la fréquence observée \(f\).

Soit \(I_n=\left[ p-1\!,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1\!,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]\).

Si \(f \in I_n\), on accepte l'hypothèse.

Si \(f \not\in I_n\), on rejette l'hypothèse, avec un risque d'environ 5\% de la rejeter à tort.

\textbf{Deuxième exemple.} On peut tester de la même façon l'hypothèse qu'un échantillon ait été pris au hasard.
On suppose qu'on connaît \(p\) (fréquence de A dans la population) et \(f\) (fréquence de A dans l'échantillon).

Si \(f \in I_n\), on accepte l'hypothèse que l'échantillon soit bien pris au hasard.

Si \(f \not\in I_n\), on rejette cette hypothèse, avec un risque d'environ 5\% de se tromper.

Voir par exemple sur le net : L’affaire Castaneda contre Partida.
\section{Intervalles de confiance}

Le problème est celui-ci : On cherche à estimer la fréquence \(p\) du caractère A dans la population à partir d'un échantillon (c'est le principe des sondages). Cette estimation sera donnée sous forme d'un intervalle, associé à un niveau de confiance.
\subsection{Préliminaires}
\begin{small}


Comme précédemment, soit \(\alpha \in]0;1[\) et soit \(X_n\) une v.a. suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\). 

Posons à nouveau \(F_n=\dfrac{X_n}{n}\) et \(J_n=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\). Pour \(n\) assez grand, \(P\left( \dfrac{X_n}{n} \in J_n \right)\geq 95\% \). 

Or \(F_n\in \left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\) équivaut à \(-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq F_n-p \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}\). 

C'est équivalent à \(-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq p- F_n \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) soit : \(p\in \left[F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}};F_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\). Autrement dit, pour \(n\) suffisamment grand, \(P\left( p \in \left[F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}};F_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] \right)\geq 95\% \). 

Ainsi, pour \(n\) assez grand, \(\left[F_n-\dfrac{1}{\sqrt{n}};F_n+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\) contient la proportion \(p\) avec une probabilité au moins égale à 0,95.

\end{small}
\subsection{Définition}
On constitue un échantillon de taille \(n\geq 30\). On calcule \(f\), la fréquence observée dans l'échantillon. On énonce alors : \(p\) appartient à l'intervalle \(\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}};f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]\) avec un \textbf{niveau de confiance} de plus de 95\%.

Un \textbf{intervalle de confiance} pour \(p\) est donc un intervalle centré en \(f\), associé à un niveau de confiance (ici 95\%).

\end{document}