\section{Introduction}
\subsection{Vocabulaire et définitions}

\textbf{Univers} : C'est l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire. Ces résultats sont appelés événements élémentaires ou \textbf{éventualités} ou encore \textbf{issues}. On note en général l'univers \(U\) ou \(\Omega\).

\textbf{Événement} : C'est une partie de l'univers : elle correspond à une réunion d'événements élémentaires.

Si on répète un grand nombre de fois l'expérience, on admet que la fréquence d'apparition de l'événement élémentaire \(a\) se "stabilise" autour d'une certaine valeur, comprise entre 0 et 1 (par définition de la fréquence). Cette valeur est la \textbf{probabilité} de l'événement élémentaire \(a\), notée en général \(P(a)\).

La probabilité d'un événement \(A\) notée \(P(A)\) est alors la somme des probabilités de tous les événements élémentaires constituant \(A\).

Tout ceci constitue un énoncé vulgarisé de ce qu'on appelle la \emph{loi des grands nombres} : Supposons qu’on reproduise \(n\) fois une expérience aléatoire. On admet que la fréquence de réalisation de l’événement \(A\) « tend » vers \(P(A)\) lorsque \(n\) devient très grand.

\subsection{Premières propriétés}


\begin{enumerate}
\item La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires constituant \(U\) vaut 1 (car la somme des fréquences vaut toujours 1).
\item \(P(\varnothing)=0\) : l’événement \(\varnothing\) est impossible.
\item \(P(U)=1\) : l’événement \(U\) est certain.
\item On dit qu'il y a équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont même probabilité. Dans ce cas, on peut utiliser la formule : \[\boxed{P(A)=\dfrac{\text{Nombre de cas favorables pour } A}{\text{Nombre de cas possibles}}}\]
\end{enumerate}


\section{Notions ensemblistes}

\subsection{Définitions}

Soient \(A\), \(B\) deux événements.

\textbf{Réunion} : \( A\cup B\) est l’ensemble des éventualités qui appartiennent soit à \(A\) soit à \(B\). Donc l’événement \(A\cup B\) est réalisé lorsque \(A\) ou \(B\) est réalisé (ou les deux).

\textbf{Intersection} : \(A\cap B\) est l’ensemble des éventualités qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Donc l’événement \(A\cap B\) est réalisé lorsque \(A\) et \(B\) sont réalisé tous les deux.

\textbf{Incompatibilité} : \(A\) et \(B\) sont incompatibles quand \(A\cap B =\varnothing\) (pas d’éventualité appartenant à la fois à \(A\) et à \(B\)). Les événements \(A\) et \(B\) sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.

\textbf{Contraire} : L’événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\) est l’ensemble de toutes les éventualités qui n’appartiennent pas à \(A\). On a donc : \(A \cap \overline{A}=\varnothing\) et  \(A \cup \overline{A}=U\).



\textbf{Partition de l’univers} : une partition de \(U\) est constituée par des ensembles incompatibles 2 à 2 et dont la réunion est \(U\).

Autrement dit :		\(A\), \(B\), \(C\) forment une partition de \(U\) si : 
\(A\cup B\cup C=U\) ; \(A\cap B=\varnothing\) ;  \(A\cap C=\varnothing\) ; \( B\cap C=\varnothing\).

\textbf{Exemple} : \(A\) et \(\overline{A}\) forment une partition de \(U\).
	On définit de la même façon une partition d’un événement quelconque.


\subsection{Propriétés} 

\begin{enumerate}
\item Si \(A\) et \(B\) sont \emph{incompatibles}, alors \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\).

Conséquence : \(P(A)+P(\overline{A})=1\)

\item Cas général : quels que soient les événements \(A\) et \(B\), \(\boxed{P(A\cup B) = P(A) + P(B) –  P(A\cap B)}\).

\item Principe des « probabilités totales » : 

Exprimons-le pour une partition constituée de trois événements ; la formule se transpose facilement au cas de deux, quatre, cinq, six événements ou plus.

Si \(A\), \(B\), \(C\) forment une partition de \(U\) alors, pour tout événement \(E\), \(P(E) = P(E\cap A)+ P(E\cap B)+ P(E\cap C)\).

Remarque : si \(E\) est l’univers, la formule devient : \(P(A) + P(B) + P(C) = 1\).
\end{enumerate}