\section{Loi binomiale}

\subsection{Définition}
\subsubsection{Schéma de Bernoulli}
Une \textbf{épreuve de Bernoulli} est une expérience aléatoire qui n’a que deux issues (l’univers n’a donc que deux événtualités). On note traditionnellement ces deux issues \(S\) (succès) et \(E\) (échec). On note \(p=P(S)\) la probabilité d'un succès.

\textbf{Exemples} : on lance une pièce ; on tire une boule dans une urne contenant des boules de deux couleurs, etc.

Un \textbf{schéma de Bernoulli} est une expérience qui est la répétition de plusieurs épreuves de Bernoulli \emph{identiques} et \emph{indépendantes}. On note \(n\) le nombre d'épreuves répétées.

\textbf{Illustration avec \(n = 3\) :}

\begin{center}  
\begin{tikzpicture}
	[parent anchor=east,grow'=east, level distance=4cm,
		edge from parent/.style={draw,thick},
        level 1/.style={sibling distance=6cm},
		level 2/.style={sibling distance=3cm},
		level 3/.style={sibling distance=1.5cm}]
\node {}
	child 
	    {
	    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	        child
	        {
	            node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	                child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(1-p\)}
			        }
		        edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
		    }
		    child
		    {
		        node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
		            child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(1-p\)}
			        }
			    edge from parent node[below, sloped] {\(1-p\)}
			}
	    edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
	}
	child 
	{
	    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
	        child
	        {
	            node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	                child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(1-p\)}
			        }
		        edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
		    }
		    child
		    {
		        node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
		            child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{S}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(p\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{E}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(1-p\)}
			        }
			    edge from parent node[below, sloped] {\(1-p\)}
			}	      
	    edge from parent node[above, sloped] {\(1-p\)}
	};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\textbf{Exemples} : 
\begin{enumerate}
\item On lance 20 fois de suite la même pièce.
\item On tire 10 fois de suite une boule dans une urne contenant des boules de deux couleurs et on la remet à chaque fois dans l’urne (tirage avec remise).
\end{enumerate}


\textbf{Remarque} : on peut schématiser une issue par une liste ordonnée de \(n\) lettres \og \(S\) \fg{} ou \og \(E\) \fg{}.

\subsubsection{Loi binomiale}
On réalise un schéma de Bernoulli. Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus. Les valeurs prises par \(X\) sont donc tous les entiers de 0 à \(n\). On appelle \textbf{loi binomiale} de paramètres \(n\) et \(p\), et on note \(\mathcal{B}(n;p)\) la loi de probabilité de \(X\). 

Elle associe à tout entier \(k\in [0 \;; 1 \;; ... \;; n]\) la probabilité d’obtenir \(k\) succès.
Cette probabilité dépend du nombre \(n\) de répétitions et de la probabilité \(p\) d'un succès.

\textbf{Exemple} : on jette une pièce trois fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 fois pile ?
	
	Il y a trois manière d’obtenir 2 piles : PPF, PFP et FPP. La probabilité de chacun de ces événements est : \(\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}\) puisque les épreuves sont indépendantes. La probabilité d’obtenir 2 piles est donc de \(\dfrac{3}{8}\).

\subsection{Coefficients binomiaux}

\subsubsection{Définition}

On construit l'arbre pondéré associé à un schéma de Bernoulli de paramètre \(n\) et \(p\) (rappel : \(n\) est le nombre de répétitions et \(p\) la probabilité d'un succès au cours d'une épreuve de Bernoulli.) Le nombre de chemins correspondant à \(k\) succès est appelé \textbf{coefficient binomial} \og  \(k\) parmi \(n\) \fg{}, et noté \(\dbinom{n}{k}\).

\textbf{Remarque} : De façon équivalente, on peut dire que parmi les mots de \(n\) lettres qu'on peut fabriquer en utilisant seulement les lettres \og \(S\) \fg{} et \og \(E\) \fg{}, \(\binom{n}{k}\) est le nombre de mots comportant exactement \(k\) fois la lettre \og \(S\) \fg{}.

\subsubsection{Propriétés}

pour tout \(n\in \mathbb{N}\), pour tout \(k\) entier entre 0 et \(n\) :
\begin{enumerate}

\item \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\)
\item \(\binom{n}{1}=n\)
\item \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\)
\item \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\)
\end{enumerate}

\subsubsection{Application : Le triangle de Pascal}



\parbox{10cm}{On peut calculer les \(\binom{n}{k}\) de proche en proche à l'aide du tableau ci-contre:
\begin{itemize}
\item[\(\bullet\)] on place des 1 sur la première colonne et la diagonale ; 
\item[\(\bullet\)] on obtient un autre nombre du tableau en ajoutant le nombre juste au-dessus et celui situé à	gauche sur la ligne précédente.
\end{itemize}
}
\hspace{1cm}
\parbox{6cm}{
\begin{tabular}{|c| c c c c c c |}
\hline
\diagbox{\(n\)}{\(k\)} &0 &1 &2 &3 &4 &5\\
\hline
0 &1 &&&&&\\
1 &1 &1 &&&&\\
2 &1 &2 &1 &&&\\
3 &1 &3 &3 &1 &&\\
4 &1 &4 &6 &4 &1 &\\
5 &1 &5 &10 &10 &5 &1\\
\hline

\end{tabular}
}


\subsection{Formule générale de la loi binomiale}

Soit \(X\) une v.a. suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\) de paramètres \(n\) et \(p\). Pour tout entier \(k\in [0;n]\), on a : \[\boxed{P(X=k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}}\]

\subsection{Espérance, variance et écart-type}

Soit \(X\) une v.a. suivant la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\) de paramètres \(n\) et \(p\).

L'espérance de \(X\) est : \(\boxed{E(X)=np}\).

La variance de \(X\) est : \(\boxed{V(X)=np(1-p)}\) et donc l'écart-type de \(X\) est : \(\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}\).

\pagebreak

\section{Échantillonnage et prise de décision en lien avec la loi binomiale}
\subsection{Introduction}

On étudie, dans une population, une caractéristique A. On fait l'hypothèse que la proportion d'individus ayant cette caractéristique est \(p.\) Pour tester cette hypothèse, on réalise un échantillon de taille \(n\) en choisissant au hasard, de façon indépendante, \(n\) individus.

On calcule \(f\), la fréquence de la caractéristique A dans l'échantillon (c'est à dire la proportion d'individus ayant cette caractéristique.) Si \(f\) est suffisamment proche de \(p\), on va accepter l'hypothèse, et dans le cas contraire, la rejeter. Le but est de donner un critère permettant de préciser cette idée de "suffisamment proche".

Si on choisit un individu au hasard, la probabilité qu'il ait la caractéristique A est \(p\). Le choix de \(n\) individus au hasard et indépendamment est un schéma de Bernoulli, donc la variable aléatoire \(X\) comptant le nombre d'individus ayant la caractéristique A dans l'échantillon suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n;p)\).

\subsection{Intervalle de fluctuation au seuil 95\%}

L'objectif est de déterminer l'intervalle \([a\;; b]\) le plus petit possible tel que \(P(a \leq X \leq b) \geq 0,95\). On choisit \(a\) et \(b\) de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item \(a\) est le plus petit entier tel que \(P(X\leq a)>0,025\)
\item \(b\) est le plus petit entier tel que \(P(X\leq b)\geq 0,975\).
\end{itemize}

\medskip
L'intervalle de fluctuation à 95\% est \(I=\left[\dfrac{a}{n}\;;\dfrac{b}{n}\right]\). On remarque que \(I\) est à peu près centré en \(p\).

Si on constitue un grand nombre d'échantillons, on va observer en général que 95 fois sur 100 environ, le nombre d'individu ayant la caractéristique A dans l'échantillon appartient à \([a\;; b]\), autrement dit que \(f\) appartient à \(I\).

\subsection{Règle de décision}
\begin{itemize}
\item Si \(f\in I\), alors on accepte l'hypothèse.
\item Si \(f \not \in I \) alors on rejette l'hypothèse, au risque de 5\% de la rejeter à tort. 
\end{itemize}


\subsection{Exemples}


Les diagrammes ci-dessous représentent les probabilités de chaque valeur.

\pgfplotsset{grid style={dotted, thick, color=black}}
\begin{enumerate}
%________________________________________________________________
\item

\textit{n}=20 ; \textit{p}=0,4

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ybar stacked,
ymin=0, 
bar width=5,
width=14cm,
height=7cm, 
xmin=0,
xmax=20,
grid=major,
]
\addplot[fill=black!80,
draw=black]
coordinates
{(0,3.656158440062977e-05)
(1,0.00048748779200839646)
(2,0.0030874226827198427)
(3,0.012349690730879373)
(4,0)
(5,0)
(6,0)
(7,0)
(8,0)
(9,0)
(10,0)
(11,0)
(12,0)
(13,0.014563052125736161)
(14,0.004854350708578698)
(15,0.0012944935222876511)
(16,0.0002696861504765946)
(17,4.2303709878681646e-05)
(18,4.7004122087424025e-06)
(19,3.298534883327999e-07)
(20,1.099511627776003e-08)
};

\addplot[fill=black!20,
draw=black]
coordinates
{(0,0)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0.03499079040415815)
(5,0.07464701952887058)
(6,0.1244116992147844)
(7,0.16588226561971353)
(8,0.17970578775468918)
(9,0.15973847800416796)
(10,0.11714155053639011)
(11,0.07099487911296357)
(12,0.035497439556481845)
(13,0)
(14,0)
(15,0)
(16,0)
(17,0)
(18,0)
(19,0)
(20,0)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

On trouve \(a=4 \) et \(b=12\). 

Ainsi, l'intervalle de fluctuation au seuil 95\% est : \(I=[0,2\;;0,6]\).

\bigskip \bigskip \bigskip
%________________________________________________________________
\item

\textit{n}=30 ; \textit{p}=0,8

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ybar stacked,
ymin=0, 
bar width=5,
width=14cm,
height=7cm, 
xmin=0,
xmax=30,
grid=major,
]
\addplot[fill=black!80,
draw=black]
coordinates
{(0,1.0737418239999939e-21)
(1,1.2884901888000006e-19)
(2,7.473243095039862e-18)
(3,2.7900107554816007e-16)
(4,7.53302903980027e-15)
(5,1.5668700402784542e-13)
(6,2.6114500671307548e-12)
(7,3.5814172349221704e-11)
(8,4.1186298201604884e-10)
(9,4.027104713045832e-09)
(10,3.3827679589585175e-08)
(11,2.460194879242535e-07)
(12,1.5581234235202785e-06)
(13,8.629606653343122e-06)
(14,4.191523231623761e-05)
(15,0.00017883832454928018)
(16,0.0006706437170598009)
(17,0.002209179303255841)
(18,0.006382073542739055)
(19,0)
(20,0)
(21,0)
(22,0)
(23,0)
(24,0)
(25,0)
(26,0)
(27,0)
(28,0)
(29,0.009284550294640384)
(30,0.001237940039285382)
};

\addplot[fill=black!20,
draw=black]
coordinates
{(0,0)
(1,0)
(2,0)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
(6,0)
(7,0)
(8,0)
(9,0)
(10,0)
(11,0)
(12,0)
(13,0)
(14,0)
(15,0)
(16,0)
(17,0)
(18,0)
(19,0.0161231331606039)
(20,0.0354708929533288)
(21,0.06756360562538807)
(22,0.11055862738699833)
(23,0.1538206989732146)
(24,0.17945748213541843)
(25,0.17227918285000204)
(26,0.13252244834615456)
(27,0.07853182124216652)
(28,0.03365649481807087)
(29,0)
(30,0)
};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

On trouve \(a=19 \) et \(b=28\). Ainsi, \(I\simeq[0,63\;;0,93]\).
\bigskip
%________________________________________________________________
\item

\textit{n}=50 ; \textit{p}=0,15

\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[ybar stacked,
ymin=0, 
bar width=5,
width=14cm,
height=7cm, 
xmin=0,
xmax=50,
grid=major,
]
\addplot[fill=black!80,
draw=black]
coordinates
{(0,0.00029576466371269923)
(1,0.0026096882092297193)
(2,0.01128306372814012)
(3,0)
(4,0)
(5,0)
(6,0)
(7,0)
(8,0)
(9,0)
(10,0)
(11,0)
(12,0)
(13,0)
(14,0.007879348758160609)
(15,0.003337135944632778)
(16,0.00128823262568545)
(17,0.0004546703384772048)
(18,0.00014709922715439307)
(19,4.3719894138767244e-05)
(20,1.1958676926192153e-05)
(21,3.014792502401408e-06)
(22,7.013019992217046e-07)
(23,1.5066334510134083e-07)
(24,2.991110527747173e-08)
(25,5.489567556806563e-09)
(26,9.314877076029228e-10)
(27,1.4611571883967596e-10)
(28,2.1180639915834928e-11)
(29,2.835542057698047e-12)
(30,3.50272842421522e-13)
(31,3.987926099675781e-14)
(32,4.178525508851468e-15)
(33,4.022110115471885e-16)
(34,3.5489206901223277e-17)
(35,2.8629948424516392e-18)
(36,2.1051432665085058e-19)
(37,1.4056600507688618e-20)
(38,8.486182969037763e-22)
(39,4.607882155133656e-23)
(40,2.2361781046971894e-24)
(41,9.624869891092828e-26)
(42,3.639656681505702e-27)
(43,1.194962521971769e-28)
(44,3.354841305001021e-30)
(45,7.893744247060749e-32)
(46,1.5141453159324379e-33)
(47,2.2740605495855614e-35)
(48,2.508155017925327e-37)
(49,1.806594250606491e-39)
(50,6.376215002140476e-42)

};

\addplot[fill=black!20,
draw=black]
coordinates
{
(0,0)
(1,0)
(2,0)
(3,0.0318580622912185)
(4,0.06605862916267559)
(5,0.10724812734645757)
(6,0.14194605089972914)
(7,0.15745276234255506)
(8,0.14934857604551396)
(9,0.12299294497865651)
(10,0.0889890131316154)
(11,0.05710524906841719)
(12,0.03275153990688591)
(13,0.016894459499480114)
(14,0)
(15,0)
(16,0)
(17,0)
(18,0)
(19,0)
(20,0)
(21,0)
(22,0)
(23,0)
(24,0)
(25,0)
(26,0)
(27,0)
(28,0)
(29,0)
(30,0)
(31,0)
(32,0)
(33,0)
(34,0)
(35,0)
(36,0)
(37,0)
(38,0)
(39,0)
(40,0)
(41,0)
(42,0)
(43,0)
(44,0)
(45,0)
(46,0)
(47,0)
(48,0)
(49,0)
(50,0)

};
\end{axis}
\end{tikzpicture}

On trouve \(a=3 \) et \(b=13\). Ainsi, \(I=[0,06\;;0,26]\).
\end{enumerate}

\subsection{Intervalle de fluctuation à un autre seuil}

Même principe. On cherche à déterminer l'intervalle \([a\;; b]\) le plus petit possible tel que \(P(a \leq X \leq b) \geq s\), où \(s\) est donné. Par exemple, \(s=99\%\) ou \(s=90\%\). 