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\section{Probabilités conditionelles}
\subsection{Définition}


 Soit \(P\) une probabilité sur l'univers \(U\). Soit \(A\) un événement possible : \(P(A)\neq 0\). On définit une nouvelle probabilité \(P_A\) sur \(U\) en posant, pour tout événement \(B\) : \(\boxed{P_A(B)=\dfrac{P(B\cap A)}{P(A)}}\).




\(P_A(B)\) se lit « probabilité de \(B\) sachant \(A\) ». On l’interprète ainsi : c’est la probabilité que \(B\) soit réalisé sachant que \(A\) est réalisé.

Notons que ceci implique : \(P(B \cap A)=P_A(B)\times P(A)\).

\textbf{Exemple 1} : On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir le 2 sachant qu’on obtient un nombre pair ?

Posons : \(A\) = « on obtient un nombre pair » et \(B\) = « on obtient le 2 ».

On calcule facilement : \(P(A)=3/6=1/2\) ; \(P(A\cap B)=1/6\) donc \(P_A(B)=(1/6)\div (1/2)=1/3\).
C’est conforme à l’intuition puisqu’il y a 3 façons d’obtenir un nombre pair.

\textbf{Exemple 2} : Dans les mêmes conditions, quelle est la probabilité d’obtenir le 3 sachant qu’on obtient un nombre pair ?

 Posons : \(C\) = « obtenir le 3 ». Alors \(P(A\cap C)=0\), donc  \(P_A(C)=0\). C’est logique, puisque l’événement est impossible.




\subsection{Arbre de probabilités}

On représente les probabilités conditionnelles sur les branches du deuxième niveau, ainsi :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
	[parent anchor=east,grow'=east, level distance=4cm,
		edge from parent/.style={draw,thick},
		level 1/.style={sibling distance=4cm},
		level 2/.style={sibling distance=2cm}]
\node {}
	child {node[circle, draw=black, thick] {\(A\)}
		child {node[,circle,  draw=black] {\(B\)}
			edge from parent node[above, sloped] {\(P_A(B)\)}}
		child {node[circle, draw=black] {\(\overline{B}\)}
			edge from parent node[below, sloped] {\(P_A(\overline{B})\)}}
	edge from parent node[above, sloped] {\(P(A)\)}}
	child {node[circle,  draw=black, thick] {\(\overline{A}\)}
		child {node[circle, draw=black] {\(B\)}
			edge from parent node[above, sloped] {\(P_{\overline{A}}(B)\)}}
		child {node[circle, draw=black] {\(\overline{B}\)}
			edge from parent node[below, sloped] {\(P_{\overline{A}}(\overline{B})\)}}
	edge from parent node[above, sloped] {\(P(\overline{A})\)}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On trouve par exemple : \(P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)\) en suivant les branches du haut.

\subsection{Application du principe des probabilités totales}

On l’écrit pour une partition de trois ensembles ; ça se généralise à une partition formée d’un nombre quelconque d’ensembles.

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois événements différents de \(\varnothing\). Si \(A\), \(B\), \(C\) forment une partition de \(U\) alors pour tout événement \(E\) : 
\[P(E) = P(E \cap A)+ P(E \cap B)+ P(E \cap C)\]
Par conséquent:
\[P(E) = P_A(E)\times P(A)+ P_B(E)\times P(B)+ P_C(E)\times P(C)\]


\subsection{Indépendance}

\textbf{Définition} :

Soient \(A\) et \(B\) deux événements. On dit que \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(\boxed{P(A \cap B)=P(A)\times P(B)}\).


Si \(A\) et \(B\) sont différents de \(\varnothing\), cette définition est équivalente à :
\begin{itemize}
\item \(P_A(B)=P(B)\)
\item \(P_B(A)=P(A)\)
\end{itemize}
\bigskip

Intuitivement, le fait qu'un événement soit réalisé n'a aucune influence sur la probabilité de réalisation de l'autre.

