\section{Variable aléatoire discrète}

\subsection{Définition}
On adopte la définition suivante (elle sera modifiée et précisée dans l'enseignement supérieur) :

Une \textbf{variable aléatoire discrète} est une variable qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs \(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n\), chacune avec une certaine probabilité. C'est l'équivalent d'un caractère quantitatif discret en statistiques. En particulier, on obtient une variable aléatoire en considérant les issues d'une expérience aléatoire dont les résultats sont numériques et en nombre fini (exemple : lancer d'un dé.)

On désigne habituellement une variable aléatoire avec une majuscule : \(X\), \(Y\), etc. La probabilité que \(X\) prenne la valeur \(x_i\) se note \(P(X=x_i)\) (ou parfois \(P(x_i)\) lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté.)

La \textbf{loi de probabilité} d'une v.a. \(X\) est l'application qui à toute valeur \(x_i\) prise par \(X\) associe la probabilité \(P(X=x_i)\). On la représente habituellement à l'aide d'un tableau.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c | c | c | c |}
\hline
Valeur prise & \(x_1\) & \(x_2\) & ...\\
\hline
Probabilité de cette valeur & \(P(X=x_1)\) & \(P(X=x_2)\) & ...\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Espérance d'une variable aléatoire}
C'est l'équivalent de la moyenne en statistiques, les fréquences étant remplacées par les probabilités.

Soit \(X\) une variable aléatoire prenant les valeurs \(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n\). \textbf{L'espérance} de \(X\), notée \(E(X)\) est le nombre :
\[E(X)= x_1 \times P(X=x_1)+x_2 \times P(X=x_2)+ \cdots + x_n \times P(X=x_n)\]

Autrement dit, on multiplie chaque valeur par sa probabilité et on fait la somme.

Pour alléger les notations, posons : \(p_1=P(X=x_1)\), \(p_2=P(X=x_2)\), etc. On obtient : 

\[\boxed{E(X)= p_1 \times x_1 +p_2 \times x_2+ \cdots + p_n \times x_n}\]

\subsection{Variance et écart-type}

Soit \(X\) une variable aléatoire prenant les valeurs \(x_1\), \(x_2\), ... , \(x_n\). On pose comme précédemment : \(p_1=P(X=x_1)\), \(p_2=P(X=x_2)\), etc.

\textbf{La varianc}e de \(X\), notée \(V(X)\) est le nombre :

\[\boxed{V(X)= p_1 \times (x_1-E(X))^2 +p_2 \times (x_2-E(X))^2+ \cdots + p_n \times (x_n-E(X))^2}\]

Remarque : \(V(X)\) est un nombre positif. En effet, les carrés sont positifs et les probabilités \(p_i\) sont des nombres positifs.

\textbf{L'écart-type} de \(X\), noté \(\sigma(X)\) est la racine carrée de la variance : 

\[\boxed{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}\]

\subsection{Propriétés}

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels. On note \(a X +b\) la variable aléatoire qui prend les valeurs \(a x_1+b\), \(a x_2+b\), ... , \(a x_n +b\) avec les probabilités respectives \(p_1\), \(p_2\), ... , \(p_n\).

On a alors :
\[E(a X +b)=a E(X)+b\]
\[V(a X +b)=a^2 V(X)\]



%\begin{proof}.

%\(E(a X +b)=p_1 (a x_1+b) +p_2  (a x_2+b)+ \cdots + p_n  (a x_n+b)\)


%On développe :

%\(E(a X +b)=p_1 a x_1+ p_1 b +p_2 a x_2+ p_2 b+ \cdots + p_n a x_n+ p_n b\)

%On factorise par \(a\) et \(b\) :

%\(E(a X +b)= a (p_1 x_1+ p_2 x_2+  \cdots + p_n x_n) + b (p_1 + p_2+ \cdots + p_n)\)

%Or, par définition, \((p_1 x_1+ p_2 x_2+  \cdots + p_n x_n)=E(X)\) et \(p_1 + p_2+ \cdots + p_n=1\)

%On obtient donc la première formule.

%\medskip

%Appliquons ce résultat : \(a x_1+b-E(a X +b)=a x_1+b-a E(X)-b=a x_1-a E(x)=a(x_1-E(X))\).

%Par conséquent : \(p_1(a x_1+b-E(aX+b))^2=p_1(a(x_1-E(X))^2=a^2 p_1(x_1-E(X))^2\).

%On a de même : \(p_2(a x_2+b-E(aX+b))^2=a^2 p_2(x_2-E(X))^2\), etc.

%On obtient donc : \(V(a X+b)= a^2 p_1 (x_1-E(X))^2 +a^2 p_2 (x_2-E(X))^2+ \cdots + a^2 p_n (x_n-E(X))^2= a^2 V(X)\).

%\end{proof}

\section{Répétition d'expériences identiques et indépendantes}
\subsection{Définition}

On peut constituer une nouvelle expérience aléatoire en reproduisant plusieurs fois une expérience aléatoire donnée, en gardant la même procédure. On parle alors de \textbf{répétition d'expériences identiques}.

Par exemple : on répète plusieurs fois le lancer d'un dé.

Si le résultat de l'une quelconque de ces expérience ne dépend pas du résultat des autres expériences, on dit qu'elles sont indépendantes les unes des autres et on parle alors de répétitions d'expériences identiques \textbf{et indépendantes}.

Par exemple : Si on lance deux fois un dé, le résultat obtenu lors du premier lancer n'a pas d'influence sur le résultat du deuxième lancer.

Si on tire au hasard deux boules successivement dans une urne contenant une boule blanche et deux boules noires, il y a indépendance si on remet la première boule tirée dans l'urne. Par contre, si on ne remet pas dans l'urne la première boule tirée, il n'y a pas indépendance. En effet, la probabilité d'obtenir une boule blanche lors du premier tirage est \(\dfrac{1}{3}\) ; mais si la boule blanche a été tirée en premier, la probabilité de tirer à nouveau une boule blanche est de 0 (car alors l'urne ne contient plus que les deux boules noires.)

\subsection{Propriété}

Dans le cas de la répétition d'expériences identiques et indépendantes, on admet que la probabilité d'une liste (ordonnée) de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

\subsection{Arbres pondérés}

On peut représenter la situation précédente par un arbre pondéré. Chaque branche est affecté d'un coefficient égal à la probabilité de l'événement auquel elle aboutit. La somme des coefficients situés sur les branches qui partent d'un nœud vaut 1.

\textbf{Exemple} : Répétition de deux expériences à trois issues \(A\), \(B\), \(C\), de façon identique et indépendante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture} % Répétition de deux expériences identiques et indépendantes
[scale=1,
		parent anchor=east,grow'=east, level distance=4cm,
		edge from parent/.style={draw,thick,-latex},
		level 1/.style={sibling distance=4cm},
		level 2/.style={sibling distance=1.3cm}]
\node{}
	child foreach \x in {\(A\),\(B\),\(C\)} %-------- Evenements de niveau 1
		{node[circle, draw=black, thick] {\x}
			child foreach \y in {\(A\),\(B\),\(C\)} %-------- Evenements de niveau 2
				{node[circle, draw=black, thick] {\y}
					edge from parent node[ fill=white, sloped] {{\small\(P(\text{\y})\)}}}
			edge from parent node[above, fill=white, sloped] {{\small\(P(\text{\x})\)}}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

L'intérêt de l'arbre est le suivant : une liste de résultats correspond à un parcours sur l'arbre, partant du nœud principal à gauche pour aboutir à un des nœuds terminaux. La probabilité de cette liste est alors le produit des probabilités rencontrées sur chacune des branches du parcours.

\textbf{Exemple numérique} : On lance une pièce truquée. La probabilité de tomber sur pile est de 0,6 et la probabilité de tomber sur face est 0,4.

\begin{tikzpicture} % Pile ou face 3  lancers
	[parent anchor=east,grow'=east, level distance=4cm,
		edge from parent/.style={draw,thick},
        level 1/.style={sibling distance=4cm},
		level 2/.style={sibling distance=2cm},
		level 3/.style={sibling distance=1cm}]
\node {}
	child 
	    {
	    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	        child
	        {
	            node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	                child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(0,4\)}
			        }
		        edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
		    }
		    child
		    {
		        node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
		            child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(0,4\)}
			        }
			    edge from parent node[below, sloped] {\(0,4\)}
			}
	    edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
	}
	child 
	{
	    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
	        child
	        {
	            node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	                child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(0,4\)}
			        }
		        edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
		    }
		    child
		    {
		        node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
		            child
	                {
	                    node[circle, draw=black, thick] {\(\text{P}\)}
	                    edge from parent node[above, sloped] {\(0,6\)}
	                }
	                child
		            {
		                node[circle, draw=black, thick] {\(\text{F}\)}
			            edge from parent node[below, sloped] {\(0,4\)}
			        }
			    edge from parent node[below, sloped] {\(0,4\)}
			}	      
	    edge from parent node[above, sloped] {\(0,4\)}
	};
\end{tikzpicture}

\bigskip

On peut calculer, par exemple : \(P(\text{P},\text{F},\text{P})=0,6 \times 0,4 \times 0,6=0,144\).