Voici une illustration réalisée avec Geogebra d'un exercice fait en classe.

f est la fonction racine carrée. On trace sa courbe représentative ainsi que la tangente au point d'abscisse 1.

Cette tangente a pour équation y = 0,5x + 0,5. On introduit alors la fonction g telle que g(x) = 0,5x + 0,5.

Si on ne s'éloigne "pas trop" du point de contact, la courbe et la tangente sont proches l'une de l'autre. Traduction : si x est "suffisamment proche" de 1, alors g(x) est proche de f(x).

On peut démontrer en fait qu'en un sens à préciser, g est la "meilleure" approximation affine de f au voisinage de 1, ce qui veut dire que parmi toutes les fonctions affines, g est celle qui donne la meilleure approximation de f lorsqu'on se rapproche de 1.

Lancez l'illustration (on fait varier x à l'aide du curseur à gauche.) Pour cela :

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Vous pouvez zoomer : il faut en même temps appuyer sur la touche Ctrl et faire défiler la molette de la souris.

M a pour coordonnées (x , f(x) ) et N (x , g(x) )