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Le corrigé...

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Majoration, minoration, croissance, décroissance, limites, etc.

Cliquez ici...

La suite (un) est définie par u0 et un+1 = a.un+ b.

On définit les nombres u0, a et b grâce aux curseurs à gauche.

Le curseur « nsi » sert à faire apparaître les points de construction l'un après l'autre.

Cliquer ici...

En observant le comportement de la suite (un) pour plusieurs valeurs de a et b, répondre aux questions suivantes :

Graphiquement, comment voit-on que (un) est convergente, divergente ?

Le fait que (un) soit convergente dépend-il de u0 ?

Le fait que (un) soit convergente dépend-il de a ?

Le fait que (un) soit convergente dépend-il de b ?

Quel critère simple peut-on donner pour savoir si une suite (un) définie par une relation de récurrence du type un+1 = a.un + b est convergente ou non ?

Correction du devoir

Un cours de bon niveau, que je consulte souvent, avec des simulations en ligne, des articles... Cliquez ici...

Seul le début correspond au programme de première S, mais c'est intéressant d'avoir une idée de ce qui vous attend plus tard.

Une situation classique et très perturbante pour le "bon sens" : Cliquez ici

ou là...

Moralité : il faut se méfier de l'intuition, surtout en calcul des probabilités.

Voici une illustration réalisée avec Geogebra d'un exercice fait en classe.

f est la fonction racine carrée. On trace sa courbe représentative ainsi que la tangente au point d'abscisse 1.

Cette tangente a pour équation y = 0,5x + 0,5. On introduit alors la fonction g telle que g(x) = 0,5x + 0,5.

Si on ne s'éloigne "pas trop" du point de contact, la courbe et la tangente sont proches l'une de l'autre. Traduction : si x est "suffisamment proche" de 1, alors g(x) est proche de f(x).

On peut démontrer en fait qu'en un sens à préciser, g est la "meilleure" approximation affine de f au voisinage de 1, ce qui veut dire que parmi toutes les fonctions affines, g est celle qui donne la meilleure approximation de f lorsqu'on se rapproche de 1.

Lancez l'illustration (on fait varier x à l'aide du curseur à gauche.) Pour cela :

Cliquez ici...

Patientez, ça peut prendre quelques secondes...

Vous pouvez zoomer : il faut en même temps appuyer sur la touche Ctrl et faire défiler la molette de la souris.

M a pour coordonnées (x , f(x) ) et N (x , g(x) )

1) Ouvrir wxMaxima

2) Se placer dans la zone de travail. Au besoin, fermer la fenêtre "conseil du jour" ou "tip of the day".

3) Il faut d'abord définir la fonction à dériver. On utilise pour cela deux points suivi d'un égal (:=).

La puissance se note comme sur les calculatrices par un ^ (il faut parfois taper deux fois sur la touche ^).

Attention à ne pas oublier les signes * pour les multiplications.

Sur Linux, pour valider une ligne, il faut taper simultanément sur MAJ et ENTRÉE. Sur Windoze, il suffit de taper ENTRÉE. J'ignore la raison de cette différence.

Par exemple on tape :

f(x):=x^2+3*x+1

qu'on valide avec Entrée (win) ou Maj-Entrée (linux).

On obtient ceci :

4) On peut vérifier que ça marche en tapant par exemple f(3). On obtient :

Parfait.

5) Venons-en au calcul de la dérivée. Dans la barre de menu, choisir le menu "Calculs" puis "Dériver..."

Une fenêtre s'ouvre, avec 3 zones à remplir :

Dans la première, (notée "expression"), taper "f(x)".

Dans la seconde ("dans la variable" ou "variables"), laisser "x".

Dans la troisième ("fois" ), laisser "1". Puis valider.

On obtient :

C'est le bon résultat : effectivement, f'(x)=2x+3.

Pour la signification de ce "diff", ainsi que du "x" qu'il faut préciser dans la formule, les explications viendront plus tard.

Pour l'instant, prenons un autre exemple :

Soit f telle que f(x)= racine carrée (5x+2). racine carrée se note sqrt (comme "square root", en anglais.) De nombreux programmes utilisent cette notation (excel et les tableurs, par ex.)

On tape :

f(x):=sqrt (5*x+2)

puis

Menu "Calcul" - "Dériver...", toujours f(x) dans la première case.

On obtient quelque chose comme :

C'est le bon résultat, on est content...

À suivre...

Je ne donne volontairement que quelques sites, bien choisis. Il en existe des centaines, google est votre ami et vous aidera à les trouver.

1) Résumé de cours de toute l'année de première S en un seul fichier pdf (rappel pour les étourdis ou les touristes) :

C'est ici

Vous pouvez laisser un message de remerciement à l'auteur.

2) Le site de Gilles Costantini :

C'est ici

Les cours sont très complets, avec beaucoup de démonstrations (si vous voulez comprendre d'où proviennent les théorèmes et propriétés, c'est là.) Attention, le niveau est en général assez soutenu. Ce sont des maths pour les courageux. Il y a aussi des tas d'exemples et d'exercices.

3) Le site de Pascal Brachet :

C'est ici

Des cours très clairs, des exercices. Je l'utilise très souvent. C'est vraiment du beau travail. L'auteur fait aussi de la programmation : il présente ses logiciels (gratuits).

4) Le site de Xavier Delahaye :

C'est ici

Les cours sont très détaillés, avec beaucoup d'exercices intercalés entre les notions ; la plupart sont corrigés ou sont accompagnés d'éléments de réponses. C'est l'outil le plus efficace pour reprendre complètement un chapitre à partir de zéro. Vraiment impressionnant. L'inconvénient, c'est qu'il y a beaucoup de choses. Ce n'est pas un cours synthétique, pour réviser en un clin d'œil. Il faut prendre son temps.

5) Un site consacré à des figures animées, réalisées avec Geogebra :

C'est ici

C'est instructif et plutôt agréable. Ça ne remplace pas un cours, mais ça aide à comprendre...

6) Quelques sites intéressants, pour compléter :

http://mathscyr.free.fr/ http://www.emmanuelmorand.net/premi... http://math.sicard.free.fr/1S.php http://xxi.ac-reims.fr/javamaths/Pr... (des QCM.)

7) Un dictionnaire de mathématique, simple, niveau lycée :

http://paquito.amposta.free.fr/

8) Pour se détendre un peu, quelques images de fractales :

C'est ici

Il n'y a pas que les images, il y a aussi quelques textes à propos des fractales...

Vous pouvez laisser un commentaire s'il y a des liens qui ne fonctionnent pas...